طرح آزمایش ها با دو عامل کنترل شده

یکی از مهم ترین فواید طرح آزمایش ها عبارت است از توانایی آزمون کردن اثر همزمان چندین عامل با کمترین هزینه ودر زمانی کوتاه. حال ببینیم چگونه یک آزمون را درباره دو عامل A و B در طی یک آزمایش می توانیم انجام دهیم. اگر بخواهیم اثر عامل A را برای v وجه و عامل B را برای w وجه با بکار بردن تنها یک عامل در هر دفعه مطالعه کنیم، باید اولین آزمایش را با r_1 تکرار و بکاربردن vr_1 قطعه برای آزمون اثر عامل A انجام دهیم، سپس دومین آزمایش را با r_2 تکرار و بکارگیری wr_2 قطعه برای آزمون اثر عامل B ، اجرا نماییم. 
مرثرتر و بهتر است که دو عامل را همزمان روی یک واحد آزمایش اثر بدهیم. نتیجه ی y_ijk از واحد آزمایش u_ijk بدست می آید و همزمان وجه A_i عامل A و وجه B_j عامل B را می پذیرد. مقدار y_ijk برابر است با: 

y_ijk=μ_ij+ϵ_ijk 
μ_ij اثر همزمان اعمال دو عامل را نشان می دهد ، ϵ_ijk اثر مانده های غیرقابل توصیف بوسیله عامل را بیان می نماید.این انحرافات تصادفی و دارای توزیع نرمال با میانگین صفر و واریانس σ^2 می باشند.
مقدار μ_ij را می توان براساس ترکیبی از میانگین عمومی، اثرات ویژه هر عامل کنترل شده و اثرات ناشی از ترکیب این عامل ها، نشان داد. اما برای این منظور بایستی انواع سازماندهی طرح آزمایش ها و الگوی ریاضی مربوط به هریک را توضیح دهیم.

سازمان طرح آزمایش ها با دو عامل کنترل شده :

دو نوع سازماندهی طرح آزمایش ها با دو عامل کنترل شده را می توان بررسی نمود.

الف. طرح عاملی :

این طرح عبارتست از اعمال همزمان دو عامل مستقل از هم به یک واحد آزمایش. به عنوان مثال فرض کنید بخواهیم مصرف بنزین یک خودرو را در مسیری معین و با استفاده از چهار نوع بنزین مختلف مقایسه کنیم البته با در نظر گرفتن این قید که چهار تکرار طرح، متناظر با چهار روز اول هفته باشد(در هر روز یک تکرار). در این حالت عوامل کنترل شده به ترتیب نوع بنزین و روز هفته خواهند بود. توجه داشته باشید که این عامل ها کاملا از یکدیگر مستقل هستند. بنابراین برحسب فرضهایی که می توان در مورد اثرات عامل ها در نظر گرفت، دو حالت می تواند وجود داشته باشد.

. طرح فاکتوریل بدون اثر متقابل و 2. طرح فاکتوریل با اثر متقابل.

طرح فاکتوریل بدون اثر متقابل :

در این حالت فرض می کنیم که اثرات دو عامل افزایشی اند. یعنی اثر تفاضلی یک وجه از یکی از عامل های کنترل شده به وجوه عامل دیگر بستگی ندارد. این اثر برای تمام وجه های عامل دیگر ثابت باقی می ماند. حال اگر میانگین کل اثرات را برای تمام وجه های دو عامل کنترل شده μ، اختلاف اثر از وجه A_i را ، α_i=μ_i-μ و همچنین ختلاف اثر ناشی از وجه B_j را نیز β_j=μ_j-μ بنامیم، داریم : 
μ_ij=μ+α_i+β_j 
این طرح را وقتی به کار می بریم که اطمینان داریم اثرات تفاضلی یکی از عامل ها به وجه های عامل دیگر بستگی ندارد یا این بستگی آنقدر ناچیز است که می توان از اثرات متقابل صرف نظر کرد. در این حالت جدول تحلیل واریانس برای بررسی مدل به صورت زیر حاصل می شود :

در این جدول مقادیر عنوان شده به صورت زیر تعریف می شوند : 
S_ijk=∑i∑_j∑_ky_ijk^2 , S=∑_i〖(y_(...)^2)⁄rvw 〗 
S_i=∑_i〖(y_(i..)^2)⁄rw 〗 , S_j=∑_j〖(y_(.j.)^2)⁄rv 〗 
در این روابطy_(i..) ، y_(i..) و y_(.j.) به ترتیب مجموع کل مشاهدات ، مجموع مشاهدات عامل i ام و مجموع مشاهدات عامل j ام می باشند. میانگین مربعات هریک از عامل ها نیز با MSA و MSB نمایش داده شده است.
نسبت محاسبه شده در آخرین ستون از توزیع فیشر با (w-1) و (n-v-w-1) درجه آزادی پیروی می کند. به منظور بررسی فرض برابری میانگین تیمارهای عامل های A و B (بررسی اثر عامل ها)، F_A و F_B با مقادیر حاصل از جدول توزیع فیشر مقایسه می شوند. در صورتی که مقادیر نسبتها بزرگتر از مقدار حاصل از جدول باشند، فرض صفر مبنی بر برابری میانگین ها رد می شود.

طرح فاکتوریل با اثرات متقابل :

در این حالت فرض می کنیم که اثرات دو عامل افزایشی ساده نیست یعنی اثر تفاضلی یک وجه از یک عامل کنترل شده بهوجوه عامل دوم بستگی دارد. در این حالت جمله μ_ij را می توان به چهار جمله تجزیه کرد.
μ_ij=μ+α_i+β_j+(αβ)_ij
در این رابطه (αβ)_ij انحراف بینμ_ij و پارامترهای الگوی بدون اثر متقابل را نشان می دهد. انحرافی که ناشی از اعمال همزمان وجه های A_i و B_j است. 
در جدول تحلیل واریانس حاصل، علاوه بر اثر هر یک از عامل ها اثر متقابل آن ها نیز بررسی می شود.

ب- طرح سلسله مراتبی :

برای توضیح این طرح با یک مثال شروع می کنیم. فرض کنید که دو کارخانه قطعات مکانیکی ناتمام را از تولیدکننده مشترکی دریافت کرده و آن ها را تکمیل می کنند. برای داوری کیفیت تولید این دو کارخانه، دو میانگین هم سطح را که از اندازه گیری قطعات تکمیل شده به وسیله دو کارخانه حاصل شده است، مثایسه کرده و تغییر پذیری "این میانگین ها را برای هر کارخانه برآورد می کنیم. اکنون در هر کارخانه چهار روز تولید را به تصادف انتخاب می کنیم. برای هر یک از روزهای منتخب دو قطعه برمی داریم و 16 قطعه برداشت شده را با افزار اندازه گیری یکسانی اندازه گیری می کنیم. 
در صورتی که الگوی فاکتوریل را بپذیریم، در واقع کوشش خواهیم کرد تفاوت های سطوح را به وسیله اثر دو کارخانه و با اثر روزانه که برای دو کارخانه مشترک است، توضیح دهیم. در این صورت به طور ضمنی فرض کرده ایم که برا ی هر یک از چهار روز نمونه برداری، وجه منتسب به روز، با زیرنویس j در کارخانه اول، با وجه منتسب به روز، با همان زیرنویس برای کارخانه دوم یکسان است. ولی این مطلب منطقی نیست، چراکه این زیرنویس تنها برای مشخص کردن قطعات برداشت شده در تولید هر کارخانه بکار می رود. در واقع شکل درست نمایش الگوی ریاضی این آزمایش به صورت زیر می باشد.
y_ijk=μ+α_i+(β_i)_j+ϵ_ijk 
که در آن α_i ها معرف تغییرات میانگی ن های سطح است که به هر کارخانه می توان نسبت داد. (β_i)_j ها تغییرات میانگین های سطح در کارخانه i است و ϵ_ijk نیز تغییرات مانده ای سطح است که به وسیله کارخانه توضیح پذیر است و نه به وسیله ی تغییرات روزانه در کارخانه.

منبع : طرح ریزی و تحلیل آزمایش ها/ نوشته پیر شاپوی/ ترجمه دکتر علی مشکانی / انتشارات دانشگاه فردوسی مشهد.